Дисциплина: Линейная алгебра (1 курс; 2 семестр)

Скалярное произведение

это отображение \[ (\cdot,\cdot):\:E\times E\rightarrow\mathbb{R}, \] которое каждой паре $x,y\in E$ векторов вещественного линейного пространства $E$ ставит в соответствие число $(x,y)\in\mathbb{R}$. При этом должны выполняться следующие условия (аксиомы скалярного произведения): \[\] 1) коммутативность: \[ \forall x,y\in E:\;(x,y)=(y,x), \] 2) дистрибутивность: \[ \forall x,y,z\in E:\;(x+y,z)=(x,z)+(y,z), \] 3) однородность: \[ \forall x,y\in E\;\forall\lambda\in\mathbb{R}:\;(\lambda x,y)=\lambda(x,y), \] 4) положительная определенность: \[ \forall x\in E:\;(x,x)\geqslant0 \] и \[ \forall x\in E:\;(x,x)=0\Rightarrow x=\theta. \]