Дисциплина: Математический анализ (1 курс; 1 2 семестр)

Предел функции по Коши

это число, к которому стремятся значения функции, когда значения ее аргумента стремятся к данной точке. \[\] Формально, пусть $a\in\overline{\mathbb{R}}$ – предельная точка области определения функции $f(x)$. Точка $b\in\overline{\mathbb{R}}$ называется пределом функции $f(x)$ при $x\to a$, если для любой окрестности $V(b)$ точки $b$ существует проколотая окрестность $\overset{\circ}{U}(a)$ точки $a$, такая, что $f(\overset{\circ}{U}(a))\subset V(b)$. Обозначение: $\lim\limits_{x\to a}f(x)=b$. Таким образом, в логической символике, \[ \left(\lim\limits_{x\to a}f(x)=b\right) := \forall V(b)\;\exists\overset{\circ}{U}(a):\;f(\overset{\circ}{U}(a))\subset V(b). \] \[\] Если точки $a$ и $b$ конечны, то можно сформулировать следующее эквивалентное определение в терминах расстояний. Точка $b\in\mathbb{R}$ есть предел функции $f:\:X\rightarrow\mathbb{R}$ при $x\to a$, когда для любого, сколь угодно малого, числа $\varepsilon>0$, существует число $\delta>0$, такое, что для всех $x\in X$ с $0<|x-a|<\delta$ справедливо неравенство $|f(x)-b|<\varepsilon$. В логической символике, \[ \left(\lim\limits_{x\to a}f(x)=b\right) := \forall\varepsilon>0\;\exists\delta>0\;\forall x\in X,0<|x-a|<\delta:\;|f(x)-b|<\varepsilon. \]