Дисциплина: Математический анализ (1 курс; 1 2 семестр)

Предельная точка числового множества

это точка действительной оси $\mathbb{R}$, сколь угодно близко к которой лежат точки исходного множества, отличные от нее. \[\] Формально, пусть $X\subset\mathbb{R}$ – произвольное числовое множество. Точка $a\in\mathbb{R}$ есть предельная точка множества $X$, если для сколь угодно малого $\varepsilon>0$ найдется точка $x\in X$, отличная от $a$, такая, что $|x-a|<\varepsilon$. В логической символике, \[ (a\text{ есть предельная точка }X)\Leftrightarrow\forall\varepsilon>0\;\exists x\in X:\;(x\neq a)\wedge(|x-a|<\varepsilon). \] Эквивалентно, $a\in\mathbb{R}$ есть предельная точка множества $X$, если любая проколотая окрестность $\overset{\circ}{U}(a)$ этой точки содержит точку из $X$, т.е., справедливо соотношение: \[ \overset{\circ}{U}(a)\cap X\neq\varnothing. \] \[\] Замечания. 1. Предельная точка множества может не принадлежать этому множеству. 2. Необходимость введения понятия предельной точки связана с определением предела функции в точке.