Логическая символика
это система символов, используемая для обозначения высказываний, предикатов, логических функций, отношений между высказываниями. В рамках математического анализа логическая символика используется для сокращения определений. \[\] Под высказыванием понимается утверждение, про которое известно, что оно либо истинно, либо ложно. Выделяют атомарные (т.е., неразложимые на более простые) высказывания. Из них, с использованием логических связок, составляются сложные высказывания. \[\] Пусть $p$ и $q$ – высказывания. Их конъюнкцией называется высказывание $p\wedge q$ (читается "$p$ и $q$"), которое истинно в том и только в том случае, когда истинны оба высказывания $p$ и $q$: \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p\wedge q \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \] Здесь $0$ соответствует ложному утверждению, а $1$ – истинному. Дизъюнкцией высказываний $p$ и $q$ называется высказывание $p\vee q$ (читается "$p$ или $q$"), которое истинно в том и только в том случае, когда хотя бы одно из высказываний $p$ и $q$ истинно: \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p\vee q \\ \hline 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \] Здесь союз "или" подразумевается в неразделительном смысле. Импликацией высказываний $p$ и $q$ называется высказывание $p\Rightarrow q$ (читается "$p$ влечет $q$", "из $p$ следует $q$"), которое ложно в том и только в том случае, когда $p$ истинно, а $q$ ложно: \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p\Rightarrow q \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \] Эквиваленцией высказываний $p$ и $q$ называется высказывание $p\Leftrightarrow q$ (читается "$p$ равносильно $q$"), которое истинно в том и только в том случае, когда $p$ и $q$ одновременно истинны или ложны: \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline p & q & p\Leftrightarrow q \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array} \] Используется также логическая связка $\neg$, обозначающее отрицание. Высказывание $\neg p$ (читается как "не $p$") истинно, если $p$ ложно и ложно, если $p$ истинно: \[ \begin{array}{|c|c|} \hline p & \neg p \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \hline \end{array} \] \[\] Для кодирования утверждений, используемых в математическом анализе, одних лишь высказываний недостаточно. Нужны еще и предикаты. Это правильно составленные выражения, содержащие переменные, где последние принимают значения из некоторой предметной области (например, из множества действительных чисел). При каждом частном значении переменных предикат становится высказыванием, т.е., принимает значение $0$ или $1$. \[\] Предложения, содержащие предикаты, записываются с использованием кванторов. Если $P(x)$ – предикат, то запись \[ \forall x:\;P(x) \] читается как "для любого $x$ выполнено $P(x)$". Здесь $\forall$ – квантор всеобщности ("любой", "всякий", "каждый"), являющийся перевернутой латинской буквой $A$ ("all"). Запись \[ \exists x:\;P(x) \] читается как "существует $x$, для которого выполнено $P(x)$". Здесь $\exists$ – квантор существования ("существует", "найдется"), являющийся перевернутой латинской буквой $E$ ("exists"). \[\] Приведенные сведения являются неформальными, поскольку не уточнено, какие выражения считаются высказываниями и предикатами, а какие нет. Не формализованы и действия с кванторами. Точный смысл всех введенных конструкций раскрывается в курсе математической логики. \[\] Для записи определений используется символ $:=$, означающий равенство по определению. Соотношение \[ A:=B \] означает, что некоторый объект $A$ вводится посредством ранее определенного объекта $B$.