Множество
это многое, мыслимое нами как единое. \[\] Если $a$ – элемент множества $A$, то отношение "является элементом" записывается как $a\in A$. В противном случае, когда $a$ не является элементом $A$, пишут: $a\notin A$. Если множество $A$ образовано объектами $a_1,\ldots,a_n$, то его обозначают как \[ A=\{a_1,\ldots,a_n\}. \] Пример: множество букв в слове "геометрия" имеет вид: \[ A=\{\text{г},\text{е},\text{о},\text{м},\text{т},\text{р},\text{и},\text{я}\} \] (хотя буква "е" в слове встречается дважды, ее в фигурных скобках достаточно указать один раз). Множество, состоящее из одного элемента $a$, обозначают символом $\{a\}$. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом $\varnothing$. Если $A$ – множество, а $P(a)$ – некоторое свойство, которое зависит от элемента $a\in A$, и которое принимает на этих элементах значения "истина", либо "ложь", то множество $B$ всех тех элементов $a\in A$, которые удовлетворяют свойству $P$, обозначается как \[ B=\{a\in A\mid P(a)\}. \] Пример: \[ \mathbb{R}_+=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\} \] есть множество положительных действительных чисел. \[\] Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначение: $A=B$. С использованием логической символики, определение равенства можно записать как \[ (A=B):=\forall x:\;(x\in A)\Leftrightarrow(x\in B). \] Если каждый элемент множества $A$ является элементом множества $B$, то $A$ называют подмножеством множества $B$ и пишут: $A\subset B$. Таким образом, \[ (A\subset B):=\forall x:\;(x\in A)\Rightarrow(x\in B). \] Пример: \[ \{1,2\}\subset\{1,2,3\}. \] \[\] Над множествами определены разнообразные операции. Среди них основными являются: объединение, пересечение и разность. Объединением множеств $A$ и $B$ называют множество \[ A\cup B:=\{x\mid(x\in A)\vee(x\in B)\}, \] которое состоит из всех тех объектов, которые являются элементами хотя бы одного из исходных множеств $A$, $B$. Пересечением множеств $A$ и $B$ называют множество \[ A\cap B:=\{x\mid(x\in A)\wedge(x\in B)\}, \] которое состоит из всех тех объектов, которые одновременно являются элементами как множества $A$, так и множества $B$. Разностью множеств $A$ и $B$ называют множество \[ A\setminus B:=\{x\mid(x\in A)\wedge(x\notin B)\}, \] которое состоит из всех тех объектов, которые являются элементами множества $A$, но не являются элементами множества $B$. Пример: если $A=\{1,2,3,4\}$, а $B=\{1,2,5,6\}$, то \begin{align*} A\cup B&=\{1,2,3,4,5,6\}, \\ A\cap B&=\{1,2\}, \\ A\setminus B&=\{3,4\}. \end{align*} \[\] Для произвольных объектов $a$ и $b$ определена их упорядоченная пара $(a,b)$, где подразумевается, что $a$ стоит на первом месте, а $b$ – на последнем. Упорядоченные пары характеризуются следующим свойством: \[ (a_1,b_1)=(a_2,b_2)\Leftrightarrow(a_1=a_2)\wedge(b_1=b_2). \] В явном виде упорядоченную пару можно определить различными способами. Один из них принадлежит польскому математику К. Куратовскому: \[ (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}. \] Пусть теперь $A$ и $B$ – произвольные множества. Тогда их декартовым произведением называется множество \[ A\times B:=\{(a,b)\mid(a\in A)\wedge(b\in B)\} \] всевозможных упорядоченных пар $(a,b)$, где $a\in A$ и $b\in B$. Пример: если $A=\{1,2\}$, а $B=\{3,4\}$, то \[ A\times B=\{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)\}. \] \[\] Замечание: формальное определение понятия множества дается на основе некоторой системы аксиом (например, Цермело – Френкеля).