Дисциплина: Линейная алгебра (1 курс; 2 семестр)

Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

это процесс получения из любого базиса $f_1,\ldots,f_k$ линейной оболочки $L(f_1,\ldots,f_k)$ ортонормированного базиса $e_1,\ldots,e_k$ той же линейной оболочки. \[\] В явном виде, процесс ортогонализации осуществляется посредством следующих шагов: \[\] Пусть $f_1,\ldots,f_k$ – исходный базис. На шаге $1$ введем вспомогательный вектор \[ g_1=f_1 \] и положим \[ e_1=\frac{g_1}{\|g_1\|} \] (символ $\|\cdot\|$ обозначает норму, порожденную скалярным произведением). Здесь и далее буквы $g$ с нижними числовыми индексами обозначают вспомогательные векторы. \[\] На шаге $2$, положим \[ g_2=f_2-(f_2,e_1)e_1 \] (здесь $(\cdot,\cdot)$ обозначает скалярное произведение) и тогда \[ e_2=\frac{g_2}{\|g_2\|}. \] На шаге $3$, \[ g_3=f_3-(f_3,e_1)e_1-(f_3,e_2)e_2, \] и тогда \[ e_3=\frac{g_3}{\|g_3\|}. \] Пусть уже выполнены $k-1$ шагов и найдены векторы $e_1,\ldots,e_{k-1}$. Тогда на последнем шаге с номером $k$ положим \[ g_k=f_k-(f_k,e_1)e_1-(f_k,e_2)e_2-\ldots-(f_k,e_{k-1})e_{k-1}, \] и затем \[ e_k=\frac{g_k}{\|g_k\|}. \] Полученная система $e_1,\ldots,e_k$ есть искомый ортонормированный базис линейной оболочки $L(f_1,\ldots,f_k)$.