Вещественное линейное пространство
это множество элементов любой природы, для которых определены операции сложения и умножения на действительное число, удовлетворяющие законам линейных операций. Обозначение: $L$. \[\] Подробно, $L$ есть вещественное линейное пространство, если выполнены три условия: \[\] 1. Определена операция \begin{align*} +:L\times L&\rightarrow L, \\ x,y&\mapsto x+y, \end{align*} называемая сложением. Она представляет закон, по которому любым элементам $x,y\in L$ ставится в соответствие элемент $z=(x+y)\in L$, называемый суммой. \[\] 2. Определена операция \begin{align*} +:\mathbb{R}\times L&\rightarrow L, \\ \lambda,x&\mapsto \lambda x, \end{align*} называемая умножением на число. Она представляет закон, по которому любому числу $\lambda\in\mathbb{R}$ и любому элементу $x\in L$ ставится в соответствие элемент $z=(\lambda x)\in L$, называемый произведением элемента на число. \[\] Операции сложения и умножения подчиняются следующим аксиомам (далее используется логическая символика): \[\] а) сложение коммутативно, то есть \[ \forall x,y\in L:\;x+y=y+x, \] б) сложение ассоциативно, то есть \[ \forall x,y,z\in L:\;(x+y)+z=x+(y+z), \] в) сложение обладает нулевым элементом, то есть \[ \exists\theta\in L\;\forall x\in L:\;x+\theta=x, \] г) каждый элемент обладает противоположным элементом, то есть \[ \forall x\in L\;\exists(-x)\in L:\;x+(-x)=\theta, \] д) умножение на число унитарно, то есть \[ \forall x\in L:\;1\cdot x=x, \] е) умножение на число ассоциативно, то есть \[ \forall x\in L\;\forall\lambda,\mu\in\mathbb{R}:\;\lambda(\mu x)=(\lambda\mu)x, \] ж) умножение на число дистрибутивно относительно сложения в $L$, то есть \[ \forall\lambda\in\mathbb{R}\;\forall x,y\in L:\;\lambda(x+y)=\lambda x+\lambda y, \] з) умножение на число дистрибутивно относительно сложения в $\mathbb{R}$, то есть \[ \forall\lambda,\mu\in\mathbb{R}\;\forall x\in L:\;(\lambda+\mu)x=\lambda x+\mu x. \]
Связанные термины: